Тригонометричні рівняння

Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a.

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

1. Розв’язання рівняння sinx=a

Всі розв’язки рівняння

sinx=a,|a|≤1

записуються у вигляді

x=(−1)karcsina+πk,k∈Z.

Окремі випадки:

sinx=0⇒x=πk, k∈Z.

sinx=±1⇒x=±π2+2πk, k∈Z.

2. Розв’язання рівняння cosx=a

Всі розв’язки рівняння

cosx=a,|a|≤1

записуються у вигляді

x=±arccosa+2πk, k∈Z.

Окремі випадки:

cosx=0⇒x=π2+πk, k∈Z.

cosx=1⇒x=2πk, k∈Z.

cosx=−1⇒x=π+2πk, k∈Z.

3. Розв’язання рівняння tgx=a

Всі розв’язки рівняння

tgx=a

записуються у вигляді

x=arctga+πk, k∈Z.

Окремий випадок:

tgx=0⇒x=πk, k∈Z.

4. Розв’язання рівняння ctgx=a

Всі розв’язки рівняння

ctgx=a

записуються у вигляді

x=arcctga+πk, k∈Z.

Окремий випадок:

ctgx=0⇒x=π2+πk, k∈Z.